Transformada de Laplace
La transformada de Laplace
es un operador LINEAL muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en
ecuaciones ´ algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.
Conceptos básicos Denotamos
al operador de Laplace por L, y como operador, actúa sobre una función f y
devuelve otra función L[f]
La transformada de
Laplace de una función f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una función L[f] de una variable real
s dada por:
Control de procesos
¿Por qué la Transformada de Laplace?
En el estudio de los
procesos es necesario considerar procesos dinámicos, es decir, modelos de
comportamiento variable con respecto al tiempo.
Esto trae como consecuencia
el uso de ecuaciones diferenciales para representar matemáticamente el
comportamiento de un proceso.
El comportamiento dinámico
en la Naturaleza puede representarse aproximadamente por el modelo general
de comportamiento dinámico lineal:
La transformada de Laplace
es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos
lineales.
La transformada de Laplace
permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación
en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha
estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a
diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
Aplicación de la transformada de Laplace en la
instrumentación de las industrias
El campo de aplicación de
los sistemas de control es muy amplia y una herramienta que se utiliza en el
diseño de control clásico es precisamente: La transformada de Laplace
La transformada de place es
una gran operación matemática que a menudo se emplea en los
análisis dinámicos de instrumentos ya que es una herramienta fácil, cómoda para
resolver sistema de proceso donde se debe emplear diagrama de bloques, para así
representar cada componente físico de la señal.
La transformada de Laplace
tiene mucho en común con las transformadas logarítmicas. Las transformadas de
Laplace son transformadas integrales y son transformadas para funciones en
lugar de números.
Aplicación de la transformada z en la
instrumentación de las industrias
La transformada Z de una
secuencia en tiempo discreto X[n]. Es un modelo matemático que se emplea entre
otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como
son el análisis de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o
Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por
computadoras.
Se emplea en la
instrumentación ya que uno de los usos dados a la transformada Z es determinar
la expresión en diferencias de un sistema que cumple unas determinadas
condiciones; una de las aplicaciones más directas es la implementación de
generadores de señal mediante ecuaciones en diferencias a su vez en el
procesamiento de imágenes digitales. Como por ejemplo los televisores de alta
definición y las cámaras digitales.
Uno de los sistemas
de procesado digital de señales más utilizados es el promediador móvil. Se
puede demostrar que este sistema es el óptimo cuando queremos recuperar una
señal de valor constante que se ve afectada por una serie de interferencias
variables con el tiempo.
Ejemplo de aplicación (nivel en un tanque).
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